Grau de uma função polinomial

O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinômio.

o grau é 1 e é composto de dois monômios.

o grau é 2 e é composto de três monômios.

não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero

neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito)

As definições acima são consistentes com as seguintes leis:

• O grau de f(x).g(x) é a soma do grau de f(x) e do grau de g(x)

• Se f(x) e g(x) têm grau diferente, então o grau de f(x) + g(x) é igual ao maior dos dois

• Se f(x) e g(x) têm o mesmo grau, então o grau de f(x) + g(x) é menor ou igual ao grau de f(x)

Função constante

Gráfico de uma função constante

Define-se função constante por :

Dado um número k,

Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do "x".

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.

Função Afim

Uma função afim é definida como uma função que apresenta o expoente 1 como maior expoente da variável independente. O seu gráfico é constituído por uma reta inclinada, podendo determiná-lo apenas com dois pontos. É expressa por:

onde o "a" é denominado o coeficiente angular e o "b" o coeficiente linear

Função linear

Gráfico de uma função do 1º Grau

Uma função linear é aquela, cujo coeficiente linear é igual a 0. É expressa por:

Apresenta duas propriedades

• Aditividade:

;

• Homogeneidade:

. Crescimento ou decrescimento da função afim

Uma função afim é crescente quando o valor do coeficiente angular for superior a 0 e decrescente quando for inferior.

a > 0 - função crescente - ângulo agudo

a < 0 - função decrescente - ângulo obtuso

Função quadrática

Gráfico de uma função do 2º Grau

Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:

Concavidade do gráfico da função quadrática

A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

Zeros (ou raízes) de uma função quadrática

Os zeros da função quadrática são os valores de x, para a imagem ser 0, ou seja onde o gráfico corta o "eixo x". O número de zeros depende do valor do discriminante, ou delta, definido por .

• Se , a função terá dois zeros.

• Se , a equação terá um zero apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem dois zeros iguais)

• Se , não terá zeros (com maior precisão, diz-se que a equação não tem zero reais, tendo dois zeros complexos conjugados).

Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.

• Concavidade voltada para cima:
  • Decrescente do -infinito ao vértice
  • Crescente do vértice ao infinito
• Concavidade voltada para baixo:
  • Crescente do -infinito ao vértice
  • Decrescente do vértice ao infinito

Funções Cúbicas

Chama-se função cúbica a toda a função da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, "a, b, c, d Î IR, e a ¹ 0 As funções cúbicas têm sempre 1 zero, ( tomam valores que vão de -¥ a + ¥) ; mas podem até 3 zeros distintos. As curvas cúbicas, não têm nenhum eixo de simetria. Comecemos por estudar as 3 funções consideradas como 3 protótipos: f(x) = x3 g(x) = x3 + x h(x) = x3 - x Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Se um ponto (x,y) está numa destas curvas, também está o ponto (-x,-y), simétrico em relação à origem. Estas 3 funções dizem-se ímpares. Verifiquemos analiticamente para a 3ª. h(x) = -h(-x), "x Î Dh Como h (x) = x3 - x e - h(-x)= - ( x3 + x )) Verifica-se que x3 - x = x3 - x , "x Î Dh . Cada um dos gráficos das figuras 1 e 2 ,atravessa o eixo dos x exactamente num ponto, mesmo que o gráfico se mova para cima ou para baixo. Na figura 3 o gráfico atravessa o eixo dos x em 3 pontos distintos, movendo-o para cima ou para baixo não se altera a sua forma, mas o nº de zeros da função; pode mudar para 2 ou 1. Á determinação exacta dos zeros de uma função cúbica é equivalente à determinação das raízes duma equação do 3º grau. No século XVI Tartaglia descobriu um método para resolver equações do 3º grau, revelou-a a Cardano que a publica como descoberta sua; na obra denominada “Ars Magna”. Calculemos os zeros de : y = x3 - x x3 - x = 0 Û x (x2 - 1) = 0 Û x = 0 Ú x =1 Ú x = -1. A função h tem 3 zeros distintos. A função g tem 1 zero simples A função f tem 1 zero triplo Representemos graficamente as funções: f(x) = x3 + x g(x ) = x3 - 5x2 + 6x A função f tem 1 zero duplo e 1 zero simples. Verifiquemos analiticamente: x3 + x = 0 Û x2 (x + 1) = 0 Û x2 = 0 Ú x + 1 = 0 Û x = 0 Ú x = -1 0 e -1 são raízes do polinómio f(x) e consequentemente zeros da função. A função g admite 3 zeros simples: { 0, 2, 3 }. Concluímos que: “Uma função polinomial tem no máximo 3 zeros e no mínimo 1 zero.”

Resolução de um Problema

O Diogo quer construir um jardim rectangular de 36m de perímetro, mas impôs a seguinte condição: o produto de uma das dimensões pelo quadrado da outra tem que ser máximo. Resolução Sendo x e y as dimensões do jardim rectangular, tem-se: 2x+2y = 36 Û x + y = 18 Û y = 18-x A função que se obtém, cumprindo a condição imposta pelo Diogo, é: f (x) = Vamos calcular os zeros de f: Tracemos o gráfico de f, com x e y Para que valor de x a função f se torna máxima? Para x =12, obtém-se para valor máximo de f : f (12) = 864. Logo a outra dimensão do jardim será: y= 18-x = 18-12 = 6 m O jardim pretendido deverá ter as dimensões: 6m e 12m.

Conceito dos números

8. NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

• ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO.

Os alunos devem ser confrontados com situações problemáticas que, uma vez mais, façam reconhecer a necessidade da criação de novos números. O estudo da adição e da subtracção de números relativos, que agora se inicia, limitar-se-á a casos muitos simples. Será através da realização de jogos, da resolução de problemas sugestivos, que os alunos irão descobrir, intuitivamente, as regras de cálculo.



ESPECIFICAÇÃO DOS TEMAS

• Números inteiros relativos

— Representação na recta numérica.
— Comparação e ordenação.
— Valor absoluto.

• Adição e subtracção de números inteiros relativos.



OBJECTIVOS

• Interpretar medidas de grandezas com dois sentidos de variação e utilizar números relativos para as representar.
• Comparar e ordenar números inteiros relativos.



• Descobrir experimentalmente as regras da adição de números relativos.
• Reconhecer que no conjunto dos números inteiros relativos a subtracção é sempre possível.
• Resolver problemas simples em que intervêm números relativos utilizando a adição e a subtracção.



OBSERVAÇÕES/SUGESTÕES METODOLÓGICAS

A introdução dos números negativos far-se-á a partir da análise de situações concretas que levem os alunos a compreender a necessidade de utilizar novos números. Sugere-se a pesquisa de dados de natureza histórica e a realização de pequenos trabalhos escritos sobre a introdução dos números negativos. Através de actividades diversas:

— jogos (envolvendo ganhos e perdas).
— deslocamentos (para cima e para baixo).
— receitas e despesas.
— …

os alunos poderão inferir as regras para adicionar números relativos com base na análise dos resultados obtidos. Esses resultados serão traduzidos por expressões do tipo (+5) + (–8) = (–3)

não sendo de introduzir, este ano, convenções para a simplificação da escrita. Devem ser propostas situações problemáticas que facilitem a descoberta intuitiva da regra para subtrair dois números relativos.

Números de aulas previstas: 9.

Exercícios de Numeração

01 –

O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente :

02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........

03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :

04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ; 8n – 6 ; 6n – 1 ; 5n + 3

05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?

06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades simples.

07 – No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :

08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .

09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?

10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa nesse número ?

11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?

12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?

13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?

14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?

15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?

16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?

19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?

20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares e diferentes.

21 – Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?

22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .

23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?

24 – Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?

25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?

26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?

27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre-vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo numérico 42, 43, 44, ....444 ?

29 – Quantos algarismos são necessários para escre-vermos os números de n algarismos ?

30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?

31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?

32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a 1.467º posição ?

33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a posição de número 454 ?

34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece na ordem das unidades simples ?

35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das centenas simples ?

36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarismo 6

37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?

38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?

39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21 ?

40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus dois algarismos ?

41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?

42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa sucessão aparecerá o grupo “12” ?

43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.

44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ?

45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é :

A) 100.006 B) múltiplo de 11 C) múltiplo de 4

D) maior que 180 000 E) divisível por 5

46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os ­ números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89"?

a) 98

b) 32

c) 22

d) 89

e) 21

47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:

a) 6882

b) 5994

c) 4668

d) 7224

e) 3448

48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?

49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?

50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?

A) 4

B) 1

C) 2

D) 3

E) nenhuma

51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O maior deles será :

52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que não sejam múltiplos de 5.

53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e terminando no número 333 ?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

01) n + 1 e n – 1	02) n + 2 e n – 2
03) ímpar	04) 2n +1 e 6n – 1 è impar 8n – 6 è par 5n + 3 è depende de n
05) 8 ordens e 3 classes	06) 52.748
07) 305	08) próprio número
09) unidades simples	10) 4 e 3ª ordem
11) 9 dezenas	12) 99 e 10
13) 98 e 10	14) 987 e 102
15) 204 e 864	16) 9.876 e 1.234
17) 9.876 e 1.234	18) 9.875 e 1235
19) 13.579 e 97.531	20) 49
21) 340	22) 472 e 1.343
23) 4.830	24) 951
25) 783	26) 1.350
27) 265	28) 82
29) x para n>1	30) 1.887
31) 300 páginas	32) 5
33) 1	34) 124
35) 236	36) 1.364
37) 57	38) 38
39) 28	40) 29
41) 273	42) 93
43) 207	44) 865
45) letra b	46) 23
47) letra a	48) 19
49) 37 maneiras	50) 1 è 2 + 23
51) 400	52) 234
53) 636

Apresentação

Sou um professor da Matemática do Liceu Nacional Kwame Nkurmah. Já estou a lecionar a seis anos. Como gosto muito do internet, resolvi criar um bloggue para os meus alunos melhorarem os seus estudos.