Um pouco da História dos Logaritmos

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.

Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.

O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica

b, b², b³, b⁴, b⁵, … , bⁿ, …

os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

então ao produto de dois termos da primeira progressão, b^m.b^p, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

PA	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
PG	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16394

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
• 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;
  
• como 8+5=13,
  
• 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.

Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida, evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número = 0,9999999, que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele multiplicava cada potência

Howard Eves é o autor do livro Introdução à História da Matemática. A referência é a da tradução de Hygino H. Domingues, 2^a edição, Editora da UNICAMP, Campinas, SP, 1997

por . Então, se , ele chamava L de "logaritmo" do número N.

Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de é 1.

Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 10⁷.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.

Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10^-4. O primeiro termo de sua PG era 10⁸ e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.

Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.

Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima C_máx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

John NEPER (1550 - 1617)

A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Logarithmorum canonis descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata o processo como chegou a eles Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A Napier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivas tábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier é Brigs que conclui o trabalho e em 1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima, primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo para os números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000

Já conhecemos as operações :adição, subtração,multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Vamos agora introduzir duas novas operações: a logaritmização e a exponenciação.

Os logaritmos vêm facilitar a vida na medida que vão permitir simplificar cálculos mais complicados. E porque ? por que com eles vamos baixar o grau de dificuldade das operações transformando:

multiplicações em adições
divisões em subtracções
potenciação em multiplicação
radiciação em divisão

• Definição de logarítmo :

Chama-se logaritmo de x na base a a um número b tal que se elevarmos a ao expoente b obtemos x:

Exemplo:

generalizando:

b será portanto o logarítmo de x na base a o que significa que b é o expoente a que deve ser elevado a para obter x.

Exemplos:

1- log₁₀ 1000=3 pois 10³ =1000

2- log₃ 81 = 4 já que 3⁴ = 81

Uma nota:

Vamos tentar calcular manualmente o log₂10 . Como 2³<10<2⁴ o valor do log será um número entre 23 e quatro logo do tipo 3,... Assim já temos a chamada característica do logaritmo (isto é a parte inteira) podemos procurar uma primeira casa décimal , de facto 2^3.4=10.55 e 2^3.3=9.84 concluimos que a parte decimal inicia-se com 3 e log₂10=3,3.... mantissa ( do latim excesso).

Então o logaritmo de um número será da formma c,m onde c Z e 0<m<1

A base a é sempre um número real e positivo diferente de 1 . Qual a razão ?

Calculadora de logaritmos Um scrip simples para calcular logaritmos Base do logaritmo: Número: Resultado:

• Propriedades e regras operatórias:

Do exposto verifica-se que a función logarítmica é uma aplicação bijectiva do conjunto R⁺ , sobre o conjunto dos reais :

Veremos mais tarde que a inversa da função logarítmica é a denominada função exponencial.

• Estudo da Função Logarítmica :

Chama-se função logaritmica à função real de variável real :

A função logaritmica é uma aplicação bijectiva de R⁺ em R :

Observações:

• Os números negativos e o zero não têm logaritmo
• A função logaritmica de base a é a reciproca da exponencial de base a ou seja: y = a^x
• As funções logaritimicas mais usuais são as de base 10 (log. decimais) e as de base e =2,718281 (log. naturais).

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• Gráfico da função logarítmica :

a>1
0<a<1

• Logaritmos decimais :

A base mais utilizada é a base 10 ou seja os logaritmos decimais é por essa razão que muitas vezes, neste caso, se omite a base

Vejamos um exemplo de como os logaritmos podem facilitar os cálculos usando as regras anteriormente dadas no quadro :

• Logaritmos Neperianos ou de base natural :

Estes logaritmos que tem por base o número e (base de Neeper) e escreve-se muitas vezes .

• Mudança de base :

Exemplo : Determina log3 7 com aprox. de 6 decimais. De antemão sabemos que a resposta será um número entre 1 e 2 pois 31 = 3 e 32 = 9 , e o 7 está entre 3 e 9. Vamos mudar a base dos logaritmos para 10, log3 7 pode se escrever como . ou mais simplesmente . Utilizando a calculadora teremos:: Claro está que se fossemos verificar a validade do resultado fariamos. Que é um resultado aproximado como desejavamos

• Antilogaritmo :

É o número que corresponde a umlogaritmo dado. Consiste no problema inverso do cálculo do logaritmo de um número.

ou o que é omesmo: consiste em elevar a base ao número obtido no logaritmo :

ver exponencial

• Cologaritmo :

Designa-se por cologaritmo de um número x ao logaritmo do seu recíproco ou inverso :

justifica a segunda parte desta igualdade

• Alguns valores uteis

• Equações logarítmicas :

Trata-dse de equações que à incógnita foi aplicada a operação logaritmo.

É fácil concluir que a igualdade entre os logaritmos de duas expressões implica a igualdada de ambas. (este é o principio em que se fundamenta a resolução deste tipo de equações ou o que se poderá dizer de outra maneira: aplicando o antilogaritmo)

Exemplo:

log x = log (x³+5) + 10x = x³ +5 + log 10 x = x³+5 +1

• Sistemas de Equações logarítmicas :

Como é fácil depreender trata-se de um sistema de equações em qua (as) incógnita(s) estão sugeitas à operação logaritmo. A sua resolução faz-se como normalmente outros sistemas só que tendo em atenção as propriedades dos logaritmos para efectuar as transformações necessárias.Exemplo :

• A recordar...

Se a > 1
Os números menores que 1 têm logaritmo negativo
Os números maiores que 1 têm logaritmo positivo

Se 0 < a < 1
Os números menores que 1 têm logaritmo positivo
Os números maiores que 1 têm logaritmo negativo

Respostas

1- 7 basta atender à def. de logaritmo

2- 10² x 10^{log 3}= 100 x 3

3- log₈ 8²+ log₄4³= 2 + 3

4- log₅ (375 / 3)= log₅ 125 = 3

5= log 32/log 16 (pela mudança de base) logo: log 2⁵/log 2³= 5/4

6-3x+1= 4² aplicando log₄ a ambos os membros

7- x³ = 343 logo x=...

8- x²=6-5x logo x=... (atenção às sol. apresentadas!)

9- log (2 x 3)= log2 + log3= a+b

10-log 7²= 2 log 7=...

11-log 2^0.5 =...

12-log(7 x 100) = log 7 +log100=...

13- log 2^-3 =...

14- log 2/log 3=...

15-

16- log(x - 5)

log(x + 4) = log 10 - log(x - 5) = log (10/(x - 5))

x + 4 = 10/(x - 5)

x² - x - 30 = 0

x = 6
x = - 5 (esta solução não é válida).

Problemas de Logaritmos

Calcula: 1) 10 log 7 2) 102+log 3 3) log 8 64+ log4 64 4) log 5 375 - log 5 3 5)log 16 32

Resolve : 6) log 4 (3x+1)=2 7) log x 343 =3 8) log x(6-5x))=2

Sabendo que log 2 =a; log 3 =b; log 7 =c determina:

9) log 6 10) log 49 11) log2

12) log 700 13) log 0.125 14) log3 2

Resolve as equações:

15)	16) log(x + 4) = 1 - log(x - 5)

Funções Logarítmica e Exponencial

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS

Agora obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa.

• DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado diferenciando , onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite

Usando a definição de derivada, obtemos(com x em vez de v como variável).

Assim,

Mas a partir da fórmula , temos = 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como

No caso especial onde b = e, temos = 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se

Assim, entre todas as possíveis bases, a base b = e produz a fórmula mais simples da derivada para . Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre todos os logaritmos no cálculo.

Exemplo 1

Ache

Solução. A partir de

Quando possível as propriedades dos logaritmos devem ser usadas para converter produtos, quocientes e expoentes em somas, em diferenças e em múltiplos de constantes, antes de diferenciar uma função envolvendo logaritmos.

Exemplo 2